Моменти инерции некоторых простых сечений

2009-06-25

Момент инерции прямоугольного пересечения

прямоугольник, Момент инерции
Розмеры прямоугольного сечения – b*h
Осевые моменты инерции
$$J_x = {b*h^3\over 12} $$
$$J_y = {h*b^3\over 12} $$
Полярный момент инерции прямоугольного сечения
$$J_p = {b*h\over 12}*(h^2-b^2) $$

Квадратное сечение

квадрат
a – сторона квадрата.
Осевые моменты инерции
$$J_x = J_y = {a^4\over 12}$$
Полярный момент инерции квадрата
$$J_p = 2J_x = {a^4\over 6}$$

Момент инерции круга

круг

Запишем
$$J_{p}= 2\,\pi \,\int_{0}^{p}{p}^{3}dp$$
Интегрируем выражение и получаем
$$J_p= \frac{\pi \,{p}^{4}}{2}$$
Полярный момент инерции круга
$$J_p=J_x+J_y=2I_x$$
Осевые моменты инерции круга

J_x=J_y= {J_p\over 2}= \frac{\pi \,{p}^{4}}{4} => {{\pi d^4} \over 64 } \approx 0.05 d^4

Момент инерции кругового кольца.

кольцо 
Круговое кольцо с внутренним диаметром d и внешним D

J_x = J_y = {\pi D^4\over 64}*\left[1-\left({d\over D}\right)^4\right] \approx 0.05d^4


Момент инерции полукруга

полукруг

Диаметр полукруга d .
Моменты инерции полукруга относительно осей y и x1 будут равными между собою и в два раза меньшими, нежели осевой центральный момент инерции круга.
$$J_y = J_{x_1} = {\pi d^4\over 128}$$
Площадь полукруга
$$A={\pi*d^2\over 8}$$
Статический момент полукруга относительно оси x1:
$$S_{x_1} = {d^3\over 12}$$
Находим момент инерции полукруга относительно оси x:
$$J_x = \frac{\left( 9\,{\pi }^{2}-64\right) \,{d}^{4}}{1152\,\pi } \approx 0.00686d^4$$

Момент инерции треугольника


равнобедренный треугольник
треугольник

вычислим моменты инерции для треугольника относительно центральной оси.
Центр тяжести треугольника: [math]y_o=\frac{1}{3}h[/math].

С выражения dA=b(y)*dy, а также с подобия
треугольников (2/3*h-y)/h=b(y)/b
можем получить
$$dA=\left( \frac{2\,b}{3}-\frac{b\,y}{h}\right)*dy $$
тогда
$$J_x= \int_{\frac{h}{3}}^{\frac{2\,h}{3}}{y}^{2}\,\left( \frac{2\,b}{3}-\frac{b\,y}{h}\right) dy$$

Интегрируем выражение и получаем: $$J_x=\frac{b\,{h}^{3}}{36}$$
Для равнобедренного треугольника [math]J_y=\frac{hb^3}{48}[/math]




Момент инерции двутавра и профилей

Дополнительная информация

В приложенном файле – геометрические характеристики других сечений (из справочника по сопротивлению материалов /Фесик С.П. – 1982)



Связанные статьи

Последнее обновление: 13/03/2010; #11

категория: ,