Теории прочности

2010-08-24

Основные теории прочности

Перечислим наиболее известные в сопротивлении материалов теории прочности.

  • Первая теория прочности — Теория наибольших нормальных напряжений.
  • Вторая теория прочности — Теория наибольших деформаций.
  • Третья теория прочности — Теория наибольших касательных напряжений.
  • Четвертая теория прочности (энергетическая) — Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения.
  • Теория прочности МораТеория предельных напряжённых состояний (иногда говорят — V теория прочности).

Из всех вышеперечисленных теорий прочности наиболее полной, точной и всеобъемлющей является теория Мора. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Теория наибольших нормальных напряжений и теория наибольших деформаций подходит только для прочностного анализа хрупких материалов, причём только для каких-то определённых условий нагружения, если требовать повышенную точность расчёта. Вот поэтому первые две теории прочности сегодня применять не рекомендуется. Результаты теории наибольших касательных напряжений и теории наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения можно получить в некоторых частных случаях нагружения при применении теории Мора.

Общие положения теории прочности

В зависимости от условий нагружения материал может находиться в различных
механических состояниях: упругом, пластическом и в состоянии разрушения. Под предельным подразумевают такое напряженное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала — переход от одного механического состояния к другому. Для пластических материалов предельным считается напряженное состояние, соответствующее заметным остаточным деформациям, а.для хрупких — такое, при котором начинается разрушение материала.

При линейном напряженном состоянии предельное значение единственного в
этом случае главного напряжения может быть непосредственно определено из опыта (σт — для пластических материалов и σв — для хрупких). Поэтому оценка прочности в этом частном случае проста. В случае сложного напряженного состояния (объемного или плоского) при оценке прочности необходимо учитывать наличие двух или трех отличных от нуля главных напряжений. При этом опасное состояние материала
зависит не только от величии главных напряжений, но и от соотношений между ними.

Из-за невозможности экспериментального определения критериев опасного состояния материала при сложном напряженном состоянии пользуются гипотезами, формулирующими условия перехода материала в опасное состояние. Па основании таких гипотез построены теории прочности. Эти теории исходят из предпосылок о том, что сложное и линейное напряженные состояния считаются эквивалентными (по прочности), если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся опасными. Поэтому оценка прочности материала при любом напряженном состоянии основывается на результатах опытов
при простом растяжении (сжатии), и исследуемое напряженное состояние сравнивается с линейным. Для материалов с выраженной пластичностью за опасное (предельное) состояние принимается такое, при котором начинают развиваться остаточные деформации. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии, опасным считается такое состояние, которое предшествует началу появления трещин.

Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет
вид:

σпр ≤ [R], или σпр ≤ [σ]

где σпр — расчетное или приведенное напряжение при сложном напряженном состоянии.

Формулы приведенных напряжений устанавливаются теориями прочности в
зависимости от принимаемых гипотез.

Первая теория прочности — теория наибольших нормальных напряжений.

Теория наибольших нормальных напряжений — основана на гипотезе о том, что опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает значения,
соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

σпрI ≤ σ1 или σпрI ≤ | σ3 |

при плоском напряженном состоянии:

$$ \sigma_{пр}^{I}= \frac{\sigma_x + \sigma_y}2+\frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}} $$

Первая теория прочности подтверждается опытами только при растяжении хрупких материалов и лишь в тех случаях, когда все три главные напряжения не однозначны и различны по величине.

Вторая теория прочности

Вторая теория прочности — теория наибольших относительных удлинений исходит из гипотезы о том, что разрушение связано с величиной наибольших относительных удлинений. Следовательно, опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии.

В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

$$\sigma_{пр}^{II} = \sigma_1 – \mu\cdot (\sigma_{2} + \sigma_{3})$$

при плоском напряженном состоянии:

$$\sigma_{пр}^{II} = \frac{1 – \mu}{2} (\sigma_{x}+\sigma_{y})+\frac{1+\mu}{2}\sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}}$$

Вторая теория, как и первая, недостаточно подтверждается опытами, что объясняется не учетом особенностей строения реальных тел. Первая и вторая теории прочности отображают хрупкое разрушение путем отрыва (в первой это связывается с σмакс, втотой — с εмакс). Поэтому эти теории рассматриваются только как грубое приближение к действительной картине разрушения.

Третья теория прочности

Третья теория прочности — теория наибольших касательных напряжении. В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния — сложное и линейное — эквиваленты в смысле прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

$$\sigma_{пр}^{III} = \sigma_1 – \sigma_{3})$$

При плоском напряженном состоянии

$$\sigma_{пр}^{III} = \sqrt{(\sigma_x – \sigma_y)^2+4\tau^2_{xy}}$$

Третья теория прочности отображает наступление текучести в материале, а также разрушение путем сдвигов. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.

Четвертая теория прочности — энергетическая.

Энергетическая теория прочности (теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения) исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом растяжении. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

$$\sigma_{пр}^{IV} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1 – \sigma_2)^2+(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_3 – \sigma_1)^2}$$

или в частном случае при σy = 0, полагая σx = σ, τxy = τ
$$\sigma_{пр}^{IV} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$

Для частного случая чистого сдвига (σ= 0):
$$\sigma_{пр}^{IV} = \tau\sqrt{3}$$

Четвертая теория прочности отображает наступление текучести. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, имеющими одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.

Четвертую теорию прочности часто называют теорией октаэдрических касательных напряжений (октаэдрические касательные напряжения в общем случае определяются по формуле [math]\tau_{окт} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{(\sigma_1 – \sigma_2)^2+(\sigma_2 – \sigma_3)^2 +(\sigma_3 – \sigma_1)^2}[/math] и к началу развития пластических деформаций при простом растяжении они равны [math]\tau_{окт} = \frac{\sqrt{2}}{3}\sigma_{т}[/math]).

Теория прочности Мора

Читать дальше …

Источник


Связанные статьи

метки: , ,

Последнее обновление: 24/08/2010; #76

категория: ,