Статически определимые и неопределимые конструкции

2010-02-28

Под статически определимой системой понимается такая система, для которой усилия во всех ее элементах могут быть определены с применением лишь уравнений равновесия (т.е. число неизвестных равно числу независимых уравнений равновесия). Если этого сделать нельзя, то такая система называется статически неопределимой системой. В статически неопределимой системе число неизвестных больше числа полезных уравнений равновесия.

Разность между числом неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, называется степенью статической неопределимости системы. Связи, наложенные на систему, бывают внешними и внутренними. Под внешними понимают ограничения, накладываемые на абсолютные перемещения точек системы, как единое целое. Внутренние же связи ограничивают взаимные (относительные) перемещения элементов системы. Статическая неопределимость системы может быть вызвана как внешними, так и внутренними связями.

Определение реакций в статически неопределимой системе называется раскрытия статической неопределимости. Методы расчета статически неопределимых систем основаны на определении перемещений в точках наложения связей. Любая наложенная связь (любое ограничение движения) позволяет составить дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности перемещений. В результате появляется возможность сделать число уравнений равным числу неизвестных и решить полученную систему уравнений.

О независимых и бесполезных уравнениях равновесия

Для всякой пространственной системы сил можно составить систему из
6-и уравнений равновесия и, решив ее, найти 6 неизвестных сил. Однако среди этих уравнений могут быть тождества, обращающиеся в нуль при любых значениях нагрузок. Это бесполезные уравнения и, следовательно, число неизвестных сил должно быть равно числу уравнений минус число тождеств.

Для произвольной плоской системы сил можно составить 3 уравнения, не являющихся тождествами, например, сумму проекций всех сил на 2 любые оси и одну сумму моментов всех сил, относительно какой-либо точки.

Для плоской системы сходящихся сил можно составить лишь 2 независимых уравнения. Сумма моментов всех сил относительно точки их пересечения тождественно равна нулю. Из 2-х уравнений можно определить лишь 2 неизвестные силы.

Для плоской системы параллельных сил бесполезной оказывается сумма проекций на ось, перпендикулярную силам. Поэтому из 2-х уравнений равновесия можно найти лишь 2 неизвестные силы.

Для системы, где силы действуют вдоль одной прямой линии (коллинеарные силы) можно составить лишь одно независимое уравнение — сумму проекций всех сил на эту прямую, которая равна просто сумме сил.

Определение степени статической неопределимости

Рассмотрим плоскую задачу. Необходимое для равновесия число наложенных внешних связей должно быть равно количеству уравнений равновесия − ∑x = 0, ∑y = 0, ∑m = 0 (т.е трем ). Если плоская система состоит из D частей, каждую из которых можно рассматривать как жесткое тело, то количество параметров, определяющих положение этой системы будет равно 3·D. Каждый шарнир, соединяющий две части системы, позволяет лишь их взаимный поворот, устраняя возможность их взаимных смещений − следовательно он уменьшает количество возможных перемещений системы на две единицы. Кроме этого, каждый опорный стержень устраняет возможность перемещения системы в соответствующем направлении. Таким образом, подсчитать степень статической неопределимости системы W, определяемую внешними связями, можно по следующей формуле:

W = 3 D − 2 Ш − С,

где
D − число частей (“дисков”) системы, каждая из которых может рассматриваться как абсолютно жесткое тело,
Ш − количество шарниров в системе, соединяющих эти “диски”,
С − число опорных стержней (шарнирно-подвижная связь).

Если W=0 – то система статически определимая. При W<0 — конструкция является статически неопределимой системой.



Связанные статьи

метки:

Последнее обновление: 28/02/2010; #61

категория: ,