Статическим моментом Sx сечения (фигуры) относительно какой-либо оси х называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояние y до данной оси, численно равная интегралу:
| $$S_x=\int_{A} y dA$$ | (1) |
и относительно оси у:
| $$S_y=\int_{A} x dA$$ | (2) |
Основные свойства статических моментов инерции
- Размерность статического момента — единица длины в третьей степени, обычно [см3] или [м3] .
- Статический момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
- Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной .
- Точка пересечения центральных осей назвается центром тяжести сечения.
- Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это вытекает со свойств определенного интеграла.
Определение положения центра тяжести
Из формулы (1) и (2) вытекает:
$$S_x=y_c\cdot A $$
$$S_y=x_c\cdot A $$
где A — площадь всей фигуры;
уc — расстояние от центра тяжести фигуры до оси х.
xc — расстояние от центра тяжести фигуры до оси y.
Тогда положение центра тяжести фигуры вычисляется по формулах:
$$x_c= { S_y \over A } = {{{\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot A_i}\over {\sum_{i=1}^{n}A_i}}}$$
$$y_c= { S_x \over A } = {{{\sum_{i=1}^{n}y_i\cdot A_i}\over {\sum_{i=1}^{n}A_i}}}$$
где [math]A_i, y_i, x_i [/math] – площадь єлементов, на которые разбито сечение и координаты центра тяжести элементов, а n – количество таких элементов.
Если сечение имеет ось симметрии, то она всегда проходит через центр тяжести, а потому статический момент относительно оси симметрии всегда равен нулю.
