Закон Гука

2009-07-03

Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением деформируемых тел показывают, что в определенных диапазонах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Указанная закономерность была впервые сформулирована в 1660 году и опубликована в 1678 г. в сочинении «De potentia restitutiva»1 английским учёным Робертом Гуком (англ. Robert Hooke) и в его честь носит название “Закон Гука”. “As the extension, so the force.

Закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций и имеет вид простой пропорциональности. Для тонкого растяжимого стержня закон Гука гласит “перемещения прямо пропорциональны нагрузкам“ и имеет вид: $$F=k\Delta$$ Здесь F сила натяжения стержня, [math]\Delta[/math]— его удлинение, а k называется коэффициентом упругости или жёсткостью.

Очевидно, что коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Полезно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения A и длины L ) явно, записав коэффициент упругости как [math]k=\frac{EA}{L}[/math]. Величина E – это коэффициент пропорциональности, названным модулем Юнга и зависит только от свойств материала. Полезно теперь ввести относительное удлинение ε=∆l/L и нормальное напряжение в поперечном сечении σ=F/A. В этих обозначениях закон Гука записывается как $$\sigma=E\varepsilon$$ . Величину, обратную жёсткости, называют податливостью.

На практике часто необходимо найти удлинение стержня под действием растягивающих или сжимающих нагрузок. Подставим в формулу σ=Eε выражения σ=N/A и ε=∆l/L. Тогда $$\Delta l=\frac{NL}{EA}$$
Эта формула справедлива для случая действия одной сосредоточенной силы. Если на стержень действует несколько сил – то стержень разбивается на несколько участков (от силы до силы) и полное удлинение равно сумме удлинений каждого участка в отдельности. $$\Delta l = \sum_{i=1}^{n}\frac{N_il_i}{EA_i}$$

Закон Гука не является точным законом. Для стали отклонения от пропорциональности между σ и ε незначительны, тогда как чугун или резина явно этому закону не подчиняются. Для них ε = φ(σ), причем φ(σ) может быть аппроксимирована линейной функцией лишь в самом грубом приближении.

1 “О восстанавливающей силе”



Связанные статьи

метки: ,

Последнее обновление: 27/02/2010; #23

категория: ,