Определение внутренних усилий методом сечений

2010-02-19

Взаимодействие между частями конструкции (тела) характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри нее под действием внешних нагрузок.

Определяются внутренние силы с помощью метода сечений. Суть метода сечения в следующем: если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также будет находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия. То есть, внутренние силы не влияют на условия равновесия тела, так как являются самоуравновешенными.

Рассмотрим тело, к которому приложена некоторая система внешних сил F1, F2, …, Fn, удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии равновесия. Если необходимо, то определяются опорные реакции из уравнений равновесия (берем объект, отбрасываем связи, заменяем отброшенные связи реакциями, составляем уравнения равновесия и решаем систему). Реакции можно не находить, если они не входят в число внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемых сечений.

Мысленно рассекаем  конструкцию Мысленно рассекаем тело произвольным сечением, отбрасываем левую часть тела и рассматриваем равновесие оставшейся части.


Сечение конструкции (тела)Если бы не было внутренних сил, оставшаяся неуравновешенная часть тела начала бы двигаться под действием внешних сил. Для сохранения равновесия, действие отброшенной части тела заменяем внутренними силами приложенными к каждой частице тела.


Сечение конструкции: Главный вектор сил и момента Из теоретической механики известно, что любая система сил может быть приведена в любую точку пространства в виде главного вектора сил [math]\vec{R}[/math] и главного момента сил [math]\vec{M}[/math] (теорема Пуансо). Модуль и направление этих векторов неизвестны.


Внутренние усилия Удобнее всего определять эти вектора через их проекции на оси x,y,z. $$\vec{R} = \vec{N} + \vec{Q_x}+\vec{Q_y}, \ \ \vec{M} = \vec{M_k} + \vec{M_x}+\vec{M_y} $$ или

\vec{R} = \left[ \matrix{N \cr Q_x \cr Q_y } \right]  \; \vec{M}=\left[ \matrix{ M_x \cr M_y\cr M_z }\right]


Проекции векторов [math]\vec{R}[/math] и [math]\vec{M}[/math] носят следующие названия:

  • N — продольное усилие,
  • Qx и Qy — поперечные (перерезывающие) силы соответственно вдоль осей x и y,
  • Mk — крутящий момент (обозначается иногда буквой T),
  • Mx, My — изгибающие моменты соответственно вокруг осей x и y

В общем случае для определения внутренних усилий имеем 6 неизвестных, которые можно определить из 6 уравнений равновесия.

\large\left\{ \begin{array}{lcr} \sum F_x + Q_x = 0 \Rightarrow Q_x  \\
\sum F_y + Q_y  = 0 \Rightarrow Q_y \\
\sum F_z  + N = 0 \Rightarrow N \\ 
\sum M(F)_x  + M_x = 0 \Rightarrow M_x \\
\sum M(F)_y  + M_y = 0 \Rightarrow M_y \\
\sum M(F)_z  + M_k = 0 \Rightarrow M_k 
\end{array}\right.

где [math]\sum F_i, \sum M(F)_i [/math] – внешние силы и моменты, действующие на оставленную часть тела.

Решив систему из 6-и уравнений с 6-ю неизвестными, определяем все внутренние усилия. В сечении могут присутствовать не все шесть внутренних
силовых факторов одновременно – это зависит от вида внешней нагрузки и способа ее приложения.

Пример: Нахождение внутренних усилий и построение их эпюр1 для стержня

Общее правило определения любого внутреннего усилия:

Усилия Qx, Qy, N равняются алгебраической сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно на оси x, y или z .

Моменты Mx, My , Mk равняются алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от выбранного сечения, соответственно относительно осей x, y или z, проходящих через центр тяжести выбранного сечения.

При использовании приведенного правила необходимо принять правило знаков для внутренних усилий.

Правило знаков

  • Нормальная растягивающая сила (направлена от сечения) считается положительной, а сжимающая – отрицательной .
  • Крутящий момент в сечении, направленный против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным.
  • Положительному изгибающему моменту соответствуют сжатые волокна сверху, отрицательному – снизу.
  • Знак поперечной силы удобно определять по тому, в каком направлении пытается повернуть отсеченную часть балки результирующая поперечной нагрузки относительно рассматриваемого сечения: если по часовой стрелке — сила считается положительной, против часовой стрелки — отрицательной.

1 График изменения внутреннего усилия по заданной оси тела называется эпюрой.



Связанные статьи

метки:

Последнее обновление: 13/03/2010; #19

категория: ,