Момент инерции плоских сечений

2009-06-20

Осевым моментом инерции сечения (second moment of area или second moment of inertia) относительно оси x называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадрат их расстояний до данной оси, численно равная интегралу
$$J_x = \int_{A}y^2dA$$

И относительно оси y:
$$J_y = \int_{A}x^2dA$$
где у — расстояние от элементарной площадки dA до оси х (смотри рисунок),
х — расстояние от элементарной площадки dA до оси у.

Полярным моментом инерции сечения относительно данной точки
(называемого полюсом ) называется сумма произведений элементарных площадок dA на квадрат их расстояний до этой точки:
$$J_{\rho} = \int_{A}{\rho}^2dA$$
где [math]\rho[/math] – расстояние от площадки dA до полюса, относительно которой вычисляется полярный момент инерции.

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей x и y называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей:
$$J_{xy} = \int_{A}x y dA$$
где x,у — расстояние от элементарной площадки dA до осей х и y (смотри рисунок).

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и, в частном случае, равным нулю. Если взаимно перпендикулярные оси x и y или одна из них являются осями симметрии фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. [math]J_{xy} = 0[/math].

Полярный момент инерции относительно какой – либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. $$J_{\rho} = J_x + J_y $$ рис 2.1

Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Формулы для моментов инерции при параллельному переносе осей:
$$J_{x_{1}} = \int_{A}(y+a)^2dA = J_{x} +2aS_x + a^2A$$
$$J_{y_{1}} = \int_{A}(x+b)^2dA = J_{y} + 2bS_y + b^2A$$
$$J_{x_{1}y_1} = \int_{A}(y+a)(x+b)dA = J_{x y} + aS_y+ bS_x + abA$$

Если Sx и Sy равны нулю. Тогда:
$$J_{x_{1}} = J_{x_c} + a^2A$$
$$J_{y_{1}} = J_{y_c} + b^2A$$
$$J_{x_{1}y_1} = J_{x_c y_c} + abA$$

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции
относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции сечения.

Из формул следует, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент инерции относительно любой нецентральной оси сечения, параллельной центральной.

Зависимость между моментами инерции при повороте осей

$$J_{x_1} = J_x cos^2 \alpha + J_y sin^2 \alpha – J_{xy} sin (2\alpha)$$
$$J_{y_1} = J_x sin^2 \alpha + J_y cos^2 \alpha + J_{xy} sin (2\alpha)$$

и для центробежного момента инерции: $$J_{x_1 y_1} = {J_x – J_y\over 2}* sin(2\alpha) + J_{xy} cos(2\alpha)$$

Некоторые свойства моментов инерции сечения

  • Размерность – длина4 ( обычно см4)
  • Осевой и полярный моменты инерции – величины всегда положительные, так как координаты произвольной площадки входят в формулы в квадрате.
  • При повороте осей сумма осевых моментов инерции не изменяется. $$J_{x_1} + J_{y_1} = J_x + J_y$$
  • Полярный момент инерции относительно точки равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку: [math] J_p=J_x+J_y[/math]
  • Момент инерции составного сечения равен сумме моментов инерции элементов этого сечения.


Связанные статьи

метки:

Последнее обновление: 10/02/2010; #12

категория: ,