Потенциальная энергия упругой деформации

2010-02-28

Для решения сложных задач расчета на прочность успешно применяется энергетический подход, в основе которого лежит определение работы внешних и внутренних сил, определение потенциальной энергии упругой деформации.

Рассмотрим один подход к определению потенциальной энергии упругой деформации.

Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K

При действии статических нагрузок (или если сила прикладывается достаточно медленно, т. е. ее скорость приложения стремится к нулю) К = 0, следовательно,

А = U

Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. То есть, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмов, в луке и т.д. Для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим простейший случай — растяжение стержня.

Потенциальная энергия упругой деформации На рисунке изображен растягиваемый силой F стержень, удлинение которого соответствует отрезку Δl, а ниже показан график изменения величины удлинения стержня Δl в зависимости от силы F. В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер (стержень растягивается в пределах упругих деформаций).


Пусть некоторому значению силы F соответствует удлинение стержня Δl. Дадим некоторое приращение силе dF. Соответствующее приращение удлинения составит d (Δl ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (F + dF)·d (Δl ) = F·d (Δl ) + dF· d (Δl )

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = F·d (Δl) 

Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка - перемещение”, работа внешней силы F на перемещении Δl будет равна площади треугольника ОСВ

A = U = 1/2·F·Δl 

Для однородного стержня с постоянным попе­речным сечением и при F = const, зная из закона Гука что Δl = FL/EA (здесь и далее_A_ – площадь сечения), получим:

$$ U={1\over2} F \Delta l = {1\over2} F {FL\over EA} = {F^2 L\over 2EA}$$

Здесь
U – потенциальная энергия упругой деформации
F – нагрузка
E – Модуль Юнга
L – длина
A – площадь сечения

Для оценки энергоемкости материала используют удельную потенциальную энергию, накапливаемую в единице объема: u= U/V, где V— объем стержня (V=L·A). Зная, что σ=F/A= Eε, для стержня (напряжения σ и деформации ε распределены по объему тела V равномерно) можем записать

$$u={U\over V}= {{{F^2 L\over 2EA}{1\over LA}}}
= {\sigma^2\over 2E}={\sigma\epsilon\over 2}$$

Потенциальную энергию упругой деформации можем выразить через удельную потенциальную энергию:
$$U=\int_{V}udV$$




Связанные статьи

метки: ,

Последнее обновление: 15/03/2010; #58

категория: ,